Nel 1940 il filosofo neokantiano del Novecento Ernst Cassirer (1874-1945) dedicava il primo libro del quarto volume della Storia della filosofia moderna sul problema della conoscenza nei sistemi posthegeliani al pensiero filosofico-scientifico della scienza esatta logico-matematico-geometrica: il primo capitolo del primo libro era da Cassirer dedicato al problema dello spazio e la scoperta della geometria non euclidea.

Nel capitolo sul problema dello spazio e la scoperta della geometria non euclidea E. Cassirer rilevava la matematica modernamente emergere sempre più  come scienza di pure relazioni tra forme essenzialmente definite proprio dalle loro reciproche relazioni che le ordinano come elementi connettendole sistematicamente: come pura scienza delle relazioni la geometria supera kleinianamente l’intuizione spaziale originaria definendo e ordinando i sistemi assiomatici delle possibili geometrie secondo l’unità dello spazio: secondo l’unità dello spazio la matematica è modernamente precorsa dalla filosofia: «Già nei sistemi filosofici dei secoli XVII e XVIII troviamo una nuova scienza dello spazio… Non solo Immanuel Kant, ma già G. W. Leibniz aveva dichiarato che lo spazio era una pura forma. Esso era secondo lui la forma dell’ordine della coesistenza, mentre il tempo era la forma dell’ordine della successione» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, traduzione di Angelo Pasquinelli, p. 64).

L’interazione filosofia-matematica caratterizza il pensiero dall’antichità greca: verità filosofica e verità logico-matematico-geometrica erano nell’età classica reciprocamente funzionali in Platone, dice Cassirer: «… il concetto platonico della teoria delle idee fu possibile soltanto perché Platone aveva sempre in mente quel complesso di forme immutabili scoperte dai matematici greci. D’altra parte la geometria greca non raggiunse il suo pieno sviluppo quale sistema vero e proprio prima di aver assimilato le idee fondamentali di Platone» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, p. 44).

La dipendenza del discorso scientifico logico-matematico-geometrico greco antico dalla filosofia di Platone era da Cassirer rilevata riferendo la composizione sintetica matematica in età ellenistica degli Elementi di geometria di Euclide al lavoro matematico dell’Accademia platonica e al concetto filosofico platonico di intuizione intellettuale delle evidenze ideali: «I metodi e gli scopi della geometria, come scienza, furono determinati dalle idee fondamentali di Platone e gli Elementi di Euclide sono il coronamento degli sforzi fatti in questo campo. Gli Elementi erano strettamente legati all’attività dell’Accademia di Platone e furono compilati con lo scopo di completare l’opera intrapresa dai grandi matematici che ne fecero parte, specialmente Eudemo e Teeteto. I concetti e le proposizioni a cui Euclide informa il suo sistema rappresentano un prototipo e un modello di ciò che Platone chiamò il processo della visione delle idee. Ciò che si afferra in una tale visione non è qualche cosa di particolare, di contingente, di variabile ma qualche cosa che ha in sé una verità universalmente necessaria ed eterna» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, pp. 44-45).

Nell’età moderna l’evidenza greca antica platonico-euclidea dell’intuizione matematico-geometrica è riaffermata nella filosofia di Cartesio, il quale, se con la geometria analitica pone lo spazio in relazione funzionale col numero, assolutizza lo spazio fisico come estensione matematica sostanziale materiale: se nel Seicento e nel Settecento è soggetto all’affermazione dello spazio assoluto di Isaac Newton, lo spazio relativo di G. W. Leibniz è da Cassirer richiamato l’ordine delle cose coesistenti nel quale risolvere non intuitivamente ma dimostrativamente la geometria.

Se empiristicamente non solo intuitivamente John Locke ma neppure dimostrativamente David Hume negano la certezza del discorso logico-matematico-geometrico, nella filosofia moderna dopo Renato Cartesio e G. W. Leibniz è razionalisticamente con Immanuel Kant nella seconda metà del Settecento che l’evidenza della matematica è secondo l’intuizione sensibile umana riferita alla ragion pura: è lo sviluppo contemporaneo nell’Ottocento nella geometria non euclidea a interrogare sulla verità dei sistemi matematici, dice Cassirer: «… appena si fanno conoscere i primi sistemi di geometria non euclidea… il riconoscimento di una pluralità di geometrie sembrava… includere… la rinuncia all’unità della ragione» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, pp. 47-48).

Nello sviluppo ottocentesco della geometria non euclidea la comprensione del problema della verità matematica è da Cassirer storicamente riferita alla formulazione di Bernhard Riemann nella dissertazione del 1854 Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria: «Già il solo titolo di quest’opera fa pensare ad una rivoluzione nel pensiero matematico: Riemann parla di ipotesi, mentre i suoi predecessori avevano parlato di assiomi. Dove si erano scorte delle asserzioni assolute ed immediatamente evidenti, egli vide delle verità ipotetiche, dipendenti dalla validità di certe premesse; egli non attende più una decisione sulla loro validità dalla logica o dalla matematica, ma dalla fisica. E spiega che il problema del significato intrinseco della metrica spaziale può essere risolto soltanto partendo da un’interpretazione dei fenomeni, verificata finora dall’esperienza, e di cui Newton aveva posto le basi; e che, in seguito, sotto la spinta di fatti che quest’interpretazione non riesce a spiegare, bisognerebbe modificarla progressivamente. Le sue ricerche dovevano avere l’unico scopo di assicurare che tali modificazioni, in avvenire, non fossero ostacolate da ristrettezza di concetti e che i progressi nel trovare nuove relazioni non fossero resi difficili da pregiudizi tradizionali» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, pp. 43-44).

Come ipotesi gli assiomi matematici perdevano il carattere di verità eterne per diventare verità di fatto: così Cassirer riproponeva il senso conoscitivamente e scientificamente rivoluzionario della considerazione filosofica gnoseologica ed epistemologica dello sviluppo storico ottocentesco della geometria non euclidea: «In tutta la storia della matematica pochi avvenimenti contribuirono in modo tanto immediato e radicale a dar forma al problema della conoscenza e a promuoverne l’ulteriore sviluppo quanto la scoperta dei vari tipi di geometria non euclidea. Gauss, il precursore, che ne avrebbe già posseduto tutti i concetti fondamentali al principio del secolo XIX, non osò quasi parlarne. Egli serbò gelosamente il suo segreto, perché non aveva nessuna speranza che il nuovo problema fosse compreso; e poi, come scrisse in una lettera, temeva i clamori dei Beoti. Al principio del periodo che noi consideriamo, cioè della terza decade del secolo XIX, compaiono le opere di Lobacevskij e di Giovanni Bolyai (figlio); questi lavori non mancarono di attirare l’attenzione dei matematici sul problema da essi trattato; però la piena portata di questo problema rispetto alla logica generale fu compresa solo dopo che Riemann lo formulò in modo preciso» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, p. 43).

Il superamento ottocentesco dell’evidenza intuitiva non riguardava il riferimento all’intuizione in matematica: il valore matematico dell’intuizione era da Cassirer rilevato secondo l’idea della precisazione concettuale dell’inesattezza intuitiva: «Secondo Felix Klein gli assiomi geometrici non sono altro che ciò che postuliamo affinché nell’intuizione inesatta siano collocati degli enunciati esatti» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, p. 66).

Il richiamo alla intuitività della geometria euclidea era storicamente superato dalla considerazione matematica ottocentesca dei modelli euclidei e della rappresentabilità euclidea delle geometrie non euclidee: scriveva Cassirer: «Delle diverse geometrie iperbolica, ellittica e parabolica la prima fu rappresentata dal Beltrami ( le cui idee furono sviluppate ulteriormente da Helmholtz) per mezzo di relazioni ottenute sulla cosiddetta superficie pseudosferica, mentre la geometria ellittica era rappresentabile con relazioni che si verificavano sulla superficie della sfera o, più generalmente, sulle superfici a curvatura costante. Felix Klein dimostrò poi, nella sua memoria Sulla cosiddetta geometria non euclidea (1871), che tutti i sistemi di quest’ultima sono suscettibili di una rappresentazione completa nel sistema della geometria euclidea. Questa rappresentazione rende illusoria qualunque preferenza che si volesse dare ad un sistema di fronte ad un altro. Essa dimostra che tali sistemi condividono tutti la stessa sorte rispetto alla loro verità: ogni contraddizione che dovesse verificarsi in uno di quei sistemi ne porterebbe inevitabilmente una uguale nell’altro. David Hilbert completò e precisò questa dimostrazione, mostrando, nei suoi Fondamenti della geometria, che non solo i teoremi delle differenti geometrie sono reciprocamente rappresentabili uno sull’altro ma che essi sono rappresentabili anche su teoremi della analisi pura e della teoria dei numeri reali, di modo che ogni contraddizione in essi si scorgerebbe anche nella suddetta teoria» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, pp. 49-50).

Nelle scienze matematiche dell’Ottocento rappresentabilità e modelli euclidei delle geometrie non euclidee equiparavano geometria iperbolica ed ellittica alla geometria parabolica euclidea secondo la relativa reciproca coerenza logico-intuitiva: le possibilità geometriche si esprimono nelle premesse della costruzione non contraddittoria dei mondi spaziali: scriveva Cassirer: «Se c’erano differenti sistemi di assiomi della geometria, ci dovevano essere spazi differenti, e questi dovevano a loro volta contenere mondi differenti» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, p. 52).

La considerazione matematica generale delle possibilità geometriche era da Cassirer storicamente rilevata nella pubblicazione nel 1872 del Programma di Erlangen di Felix Klein: «Esso… offriva per la prima volta uno sguardo d’insieme sulle differenti geometrie possibili, da un punto di vista rigorosamente coerente e sistematico. Tale pubblicazione rappresentò un avvenimento notevolissimo, non soltanto per la matematica, ma anche per la critica della conoscenza» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, pp. 54-55).

La prospettiva matematica di Klein riconcilia scienza e filosofia nel superamento gnoseologico ed epistemologico dell’idea sostanzialistica dello spazio e della visione assolutistica della verità geometrica: la conoscenza matematica è formale e strutturale, relazionale e funzionale, intuitiva e concettuale, specifica e generale: rilevando la classificazione gerarchica kleiniana delle geometrie secondo gli invarianti dei gruppi di trasformazioni, sullo sfondo della questione filosofica dell’esistenza degli oggetti matematici, Cassirer documenta il passaggio filosofico-scientifico contemporaneo dal problema della realtà a quello dell’origine della geometria.