Il secondo capitolo del primo libro del quarto volume della Storia della filosofia moderna 1906-1907-1920-1940 del filosofo neokantiano del Novecento Ernst Cassirer (1874-1945) è dedicato a esperienza e pensiero nella costruzione della geometria.

Trattando il problema della conoscenza nei sistemi posthegeliani ed esaminando la scienza esatta logico-matematico-geometrica Cassirer documenta storicamente lo sviluppo filosofico-scientifico del pensiero matematico contemporaneo otto-novecentesco rilevando i limiti gnoseologici ed epistemologici dell’empirismo geometrico: nella conoscenza geometrica all’esperienza si unisce il pensiero: «… si potrebbero ripetere le parole di Immanuel Kant… la conoscenza geometrica ha inizio con l’esperienza, ma non deriva, per questo, dall’esperienza. L’essenziale rimane anche qui l’elaborazione del pensiero» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, traduzione di Angelo Pasquinelli, pp. 72-73).

La questione gnoseologica ed epistemologica del rapporto matematica-esperienza era al pensiero filosofico-scientifico naturalmente posta dallo sviluppo ottocentesco delle geometrie non euclidee: la definizione geometrica euclidea o non euclidea dello spazio fisico reale oggettivo rimanda all’esperienza sensibile, dalle cui suggestioni si sviluppa la geometria: l’opposizione allo a priori aritmetico-analitico della dipendenza della geometria dall’esperienza era da Cassirer rilevata in K. F. Gauss, per il quale la matematica era la regina delle scienze e l’aritmetica la regina della matematica: per Gauss l’aritmetica è a priori perché il numero è prodotto razionale interno dello spirito umano, la geometria dipende al contrario dall’esperienza perché lo spazio ha realtà esterna fuori di noi.

Nell’Ottocento la rottura gaussiana della tradizionale antica pitagorica e moderna cartesiana unità matematica della geometria all’aritmetica e l’equiparazione logica delle geometrie non euclidee alla geometria euclidea portava il pensiero matematico all’empirismo: riducendo la conoscenza matematica ai dati della percezione sensibile il sensismo matematico di John Stuart Mill non poteva soddisfare il pensiero filosofico-scientifico: la risposta gnoseologica ed epistemologica più decisa al sensismo matematico era da Cassirer rilevata nell’empirismo geometrico di Moritz Pasch, per cui la geometria è suscitata dall’esperienza: nell’affermare l’origine empirica della geometria Pasch seguiva il positivismo ma diversamente da Auguste Comte, per il quale la matematica era logicamente solo il sapere dei fatti generali, intendeva documentare la possibilità di costruire la geometria secondo osservazione ed esperienza: «E’ stato Pasch nel 1882 a tentare la prima assiomatizzazione della geometria… l’autore conserva l’atteggiamento dell’empirismo classico» (Robert Blanché, Logica e assiomatica, La Nuova Italia 1968, p. 194).

Nella geometria contemporanea la via della scienza empirico-sperimentale era indicata ma non seguita da Moritz Pasch, dice Ernst Cassirer: «Pasch segue piuttosto il procedimento di David Hilbert, portato fino alle ultime conseguenze nei Fondamenti della geometria, e il metodo della definizione implicita adottato da quest’ultimo… Lo scritto di Pasch… perciò storicamente… preparò la strada non all’empirismo geometrico ma al logicismo e al formalismo» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, pp. 72-73).

Prima di Moritz Pasch le basi filosofico-scientifiche dell’empirismo geometrico erano da Cassirer nell’Ottocento rilevate nell’opera universale di Hermann von Helmholtz: come possibilità di coesistenza secondo la forma pura dell’intuizione sensibile lo spazio era da Helmholtz kantianamente riconosciuto a priori o indipendente dall’esperienza secondo la condizione della umana percezione; come modalità di coesistenza secondo la conformazione fisica delle cose lo spazio era invece da Helmholtz empiristicamente considerato dipendente dall’esperienza secondo la nostra percezione della realtà ma geometricamente definito secondo l’idea matematica astratta di gruppo. Nella definizione dello spazio fisico reale secondo l’idea matematica astratta di gruppo Cassirer indicava l’apertura di Helmholtz al superamento dell’empirismo geometrico: la considerazione di procedimento e operazioni, combinazioni e trasformazioni portava la geometria oltre l’esperienza e la scienza empirica proiettandola sul piano del pensiero e della ragione e sul terreno della matematica pura: «Helmholtz si occupò del problema dello spazio… tale problema rappresenta per così dire il punto focale di tutte le sue ricerche scientifiche… Egli non negò affatto l’apriorità dello spazio nel senso di I. Kant… Lo spazio… non scaturisce dall’esperienza ma anzi le serve di base… Lo spazio è trascendentale, indeducibile e primitivo… Gli assiomi della geometria non sono però proprietà necessarie di una tale forma trascendentale, data a priori; in essi dobbiamo vedere l’espressione di determinate esperienze fondamentali di un tipo tanto generale che di solito dimentichiamo il loro carattere empirico… la premessa che esistano corpi rigidi suscettibili di muoversi liberamente nello spazio senza deformarsi può essere ricavata soltanto dall’esperienza. Le geometrie non euclidee hanno il merito, dal punto di vista epistemologico, di insegnarci che questa premessa non è logicamente necessaria… essa trascende il campo dell’intuizione pura dello spazio e implica un’ammissione particolare sul comportamento fisico dei corpi, dunque una legge empirica… l’esposizione di Helmholtz era fondata sul concetto di gruppo, anche se egli non lo concepisce così nettamente e non lo applica così esplicitamente come fecero più tardi S. Lie e F. Klein… Con ciò si è spostato però, dal punto di vista epistemologico, il centro di gravità del problema… Fin dai suoi primi sviluppi per merito di A.-L. Cauchy, G. L. Lagrange ed E. Galois… la cerchia di queste applicazioni si è continuamente allargata e si è estesa ai campi più diversi della matematica… Col concetto di gruppo ci eleviamo ad una teoria delle operazioni… Qui ci troviamo, per conseguenza, sul terreno della matematica puramente intellettuale» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, pp. 73-76).

Nel passaggio dalla definizione matematica pura dello spazio fisico reale al riconoscimento gnoseologico ed epistemologico della apriorità o indipendenza dalla esperienza sensibile dei presupposti della geometria empirica era da Cassirer rilevata la premessa storica del superamento filosofico-scientifico contemporaneo dell’empirismo geometrico con Henri Poincaré: «Poincaré… fu indotto a respingere decisamente l’empirismo geometrico. Giacché, se è il concetto di gruppo che dobbiamo far entrare nella definizione di geometria e se ogni geometria può essere designata come una teoria degli invarianti rispetto ad un gruppo determinato, allora già nella determinazione del concetto di geometria entra un elemento puramente aprioristico» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, p. 76).

Nel superamento filosofico-scientifico contemporaneo dell’empirismo geometrico la distanza gnoseologica ed epistemologica dell’apriorismo convenzionalistico di Henri Poincaré dal nominalismo o convenzionalismo estremo era da Cassirer sottolineata richiamando il riconoscimento di Poincaré dell’esperienza quale principio di selezione per il riferimento reale della matematica e l’applicazione fisica della geometria: il convenzionalismo moderato di Poincaré salvaguardava il valore oggettivo della scienza riferendo la verità non ai fatti assoluti ma ai fatti scientifici: per il gruppo astratto e i puri assiomi le geometrie non sono tra loro fisicamente più vere ma più comode: «… per Poincaré… non ha senso domandare all’esperienza quale geometria sia la più vera… tutti i sistemi geometrici si dimostrano ugualmente estranei alla verità: essi parlano di configurazioni che sfuggono, come tali, alla possibilità dell’esperienza… Gli assiomi sono… ammissioni libere del pensiero matematico contenenti enunciati che vanno al di là di ogni possibile verifica empirica. Ciò che può essere accertato è la fecondità di tali ammissioni per l’ordine delle verità fisiche; ma anche tale accertamento non può mai aver luogo con la conferma sperimentale di un singolo assioma… Il sistema euclideo conserverà sempre, secondo Poincaré, il vantaggio della semplicità logica… Lo sviluppo successivo della fisica non ha confermato questa previsione; esso ha mostrato che si possono presentare dei casi tali da indurre o costringere il fisico a non esitare davanti all’applicazione di una geometria non euclidea… il concetto moderno di assioma si distingue in modo caratteristico da quello antico. Gli assiomi non sono più asserzioni dal contenuto assolutamente certo… Un sistema di assiomi, secondo le vedute moderne, non è la constatazione di qualche cosa di esistente; è piuttosto da considerarsi unicamente come lo schema logico vuoto di scienze possibili… e lo sviluppo della scienza ha continuato a mostrare che anche le scienze sperimentali progrediscono tanto più e hanno possibilità tanto maggiori quanto meno si vincola la spontaneità del pensiero e quanto più si evita di limitarlo e di restringerlo a priori a ciò che è empiricamente dato e conosciuto» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, pp. 76-80).