Educare filosoficamente è educare a ragionare apertamente: ragionare è calcolare; abbacare è calcolare; a abbacare apertamente si va umanamente dall’educarsi filosoficamente; abbacare apertamente è ragionare matematicamente; ragionare matematicamente è ragionare funzionalmente o relazionalmente; ragionare relazionalmente è ragionare apertamente.

«Si usa dire che la matematica è la scienza della quantità. Quantità è una parola vaga ma per amor di discussione le sostituiremo la parola numero. L’affermazione che la matematica è la scienza del numero risulta falsa da due diversi punti di vista. Da una parte vi sono branche riconosciute come appartenenti alla matematica che non hanno niente a che fare col numero: per esempio la geometria proiettiva e descrittiva fino al punto in cui si introducono le coordinate non ha niente a che fare col numero e neppure con la quantità nel senso di maggiore o minore. Dall’altra parte attraverso la definizione dei numeri cardinali, la teoria dell’induzione e le relazioni avite, la teoria generale delle serie e le definizioni delle operazioni aritmetiche è ora possibile generalizzare molti concetti che si era soliti dimostrare soltanto in relazione ai numeri… Le più elementari proprietà dei numeri sono in rapporto con le relazioni uno-uno e con la similitudine tra le classi» (Bertrand Russell, Introduzione alla filosofia matematica, 1919, Longanesi 1963, pp. 312-313).

«Nel campo della scienza matematica… ciò che importa… sono la struttura e le relazioni» (Richard Courant e Herbert Robbins, Che cos’è la matematica, 1941, Bollati Boringhieri 1991, p. 32).

«… un terreno scivoloso e infido… costringe matematici, logici e filosofi a mettere in comune le loro forze: avviene… quando tentiamo di mettere a punto un piccolo galateo del buon ragionare per essere certi di operare deduzioni corrette» (Giuliano Spirito, Matematica senza numeri, Newton Compton 2004, p. 10).

Il relazionale o funzionale matematico umano ragionare apertamente è l’oggettivo ragionare non rigidamente.

«Se le matematiche vengono così spesso riguardate come inutile peso dagli allievi dipende in parte almeno dal carattere troppo formale che tende a prendere quell’insegnamento da un falso concetto del rigore tutto intento a soddisfare certe minute esigenze di parole, da una critica analitica eccessiva e fuori posto, della quale invero basterebbe ritenere il risultato sintetico che pone nell’esperimento la base della geometria. Ma queste tendenze si riattaccano ad una causa più generale cioè al fatto che le matematiche siano state studiate come un organismo a sé riguardandone piuttosto la sistemazione astratta conseguita dopo uno sviluppo secolare che non l’intima ragione storica. Si dimenticano per tal modo i problemi concreti che conferiscono interesse alle teorie, e sotto la formula o lo sviluppo del ragionamento non si vedono più i fatti ormai da lungo tempo acquisiti ma soltanto la concatenazione in cui noi artificialmente li abbiamo stretti» (Federigo Enriques 1906, in Emma Castelnuovo, Didattica della matematica, La Nuova Italia 1963, pp. 4-5).

«Il ricorso all’azione… prepara l’ulteriore deduzione formale purché si tenga presente che l’azione ben condotta può già essere operatoria e la formalizzazione più spinta è anche operatoria» (Jean Piaget 1960, in Emma Castelnuovo, Didattica della matematica, La Nuova Italia 1963, p. 24).

L’intelligenza è stata da Jean Piaget (1896-1980) rilevata azione interiorizzata: dal concreto all’astratto lo adattivo spaziale naturale materiale mobile meccanico attivo interiorizzato intelligente umano ragionare è riconducibile al soggettivo costitutivo reale aperto rigoroso non rigido oggettivare dal nostro autocosciente pensare dalla sintesi ad analizzare.

«… un’analisi che preceda ogni altra cosa è un’analisi del nulla» (A. N. Whitehead, I fini dell’educazione e altri saggi, 1924, La Nuova Italia 1959, p. 31).

«Anteriormente ad ogni analisi delle nostre rappresentazioni, queste debbono essere già date, e nessun concetto, riguardo al suo contenuto, può sorgere analiticamente… La sintesi è… ciò che propriamente raccoglie gli elementi per costituire conoscenze, e li riunisce in un certo contenuto» (Immanuel Kant, Critica della ragione pura, 1781 e 1787, Bompiani 1987, p. 131).

Come scomposizione negli elementi l’analisi è per definizione preceduta dalla sintesi o composizione: il significato degli elementi è funzionale o relazionale strutturale: gli elementi significano non in sé sostanzialmente ma secondo la relazione o funzione nella globalità della sintetica struttura: la nostra umana cognizione è sapere non di sostanze ma di funzioni o relazioni stabilite dalla pensante razionale autocosciente soggettività sinteticamente costitutiva della reale apparente oggettività: dal senso comune alla conoscenza scientifica la strutturale oggettiva via passa umanamente per la teoria.

«La scienza è un prolungamento del senso comune» ( W. V. O. Quine, Il problema del significato, 1961, Ubaldini 1966, p. 42).

«… fra indagine del senso comune ed indagine scientifica… la differenza… risiede nelle rispettive materie e non nelle forme e relazioni logiche fondamentali» (John Dewey, Logica, teoria dell’indagine, 1938, Einaudi 1974, pp. 147-148).

«Tanto il senso comune quanto la fisica supplementano le percezioni mediante il presupposto che le cose non cessino di esistere quando non sono percepite e con l’ulteriore presupposto che cose mai percepite possano spesso venire inferite» (Bertrand Russell, La conoscenza umana: le sue possibilità e i suoi limiti, 1948, Longanesi 1975, p. 328).

«… le teorie scientifiche poggiano sui fatti ma questi… sono artefatti che vengono continuamente rifatti attraverso demolizioni e ricostruzioni teoriche» (Dario Antiseri, Che cosa vuol dire essere razionali, 1991, in Dario Antiseri e Ralf Dahrendorf, Il filo della ragione, Donzelli 1994, p. 15).

«… le teorie scientifiche non sono determinate in modo univoco dai fenomeni studiati. La possibilità che lo stesso insieme di fenomeni sia spiegato da più teorie detta sottodeterminazione delle teorie scientifiche fu chiarita per primo da Pierre Duhem (1861-1916) e implica immediatamente che un esperimento può falsificare una teoria ma mai garantirne la verità. Duhem, oltre che epistemologo, era anche un fine storico della scienza antica» (Lucio Russo, Perché la cultura classica: la risposta di un non classicista, Mondadori 2018, p. 49).

«”Le teorie sono reti e solo chi le getta pesca”: Novalis citato da K. R. Popper» (Giulio Giorello, Introduzione alla filosofia della scienza, Bompiani 1994, p. 372).

«La funzione dell’università è di abilitarvi ad eliminare i dettagli a vantaggio dei principi… Un principio che sia stato completamente assimilato è piuttosto un abito mentale che una enunciazione formale» (A. N. Whitehead, I fini dell’educazione e altri saggi, 1924, La Nuova Italia 1959, p. 43).

La nostra umana cognizione è questione di ipotetici teorici principi: nella rete teorica il filo della trama reale fattuale è annodato all’ordito ipotetico teorico dai principi costitutivi della realtà oggettiva: i nodi teorici compongono la sintetica totalità della funzionale o relazionale globale formale struttura della oggettività: la oggettiva realtà è dal nostro umano autocosciente razionale teorico empirico pensiero costituita non analiticamente sommando ma sinteticamente fondendo le correlativamente sintetizzate reali oggettive strutturali elementari unità.

«… non esistono regole meccaniche per inventare teorie dotate di successo» (Dario Antiseri, Che cosa vuol dire essere razionali, 1991, in Dario Antiseri e Ralf Dahrendorf, Il filo della ragione, Donzelli 1994, p. 14).

«… negli ultimi anni, in previsione della loro abolizione, diverse voci si sono levate in difesa del latino e del greco… è stato particolarmente interessante l’intervento del genetista Luca Cavalli Sforza… Cavalli Sforza ha difeso le lingue classiche… come strumento utile per sviluppare le capacità scientifiche. L’esercizio di traduzione da una lingua così diversa dalla nostra soprattutto per la maggiore complessità grammaticale e sintattica costituisce infatti un lavoro intellettuale impegnativo… Si tratta di un lavoro non eseguibile automaticamente che sviluppa le stesse qualità intellettuali necessarie nella ricerca scientifica» (Lucio Russo, Segmenti e bastoncini: dove sta andando la scuola, 1998, Feltrinelli 2005, pp. 85-86).

Il cognitivo sinteticamente costitutivo reale oggettivo autocosciente razionale teorico empirico pensiero è umanamente sviluppato dal culturale formativo istruttivo educativo scolastico cimiero: scuola e educazione dovrebbero portare allo indipendente libero critico abduttivo ipotetico teorico empirico ragionare suscitando al metodico pensare del validante concreto cimentare del creativo ideale astratto elaborare da consequenzialmente controllare.

Alla nostra occidentale filosofica scientifica ideale formativa culturale finalità dello sviluppo della teorica empirica libera critica indipendente razionalità ogni uomo può essere educativamente portato dalla sollecitazione a rendere il cognitivamente strutturato sapere strumento di personale ricerca passando per il metodico esercizio della concretamente controllata ipotetica teorica astrattamente elaborata idealità.

Per lo stimolo al metodico ipotetico teorico cimento ideale l’educazione al libero critico indipendente pensiero razionale per rendere il sapere strumento di ricerca personale è per l’uomo maieutica formazione culturale: il nostro umano ragionare al teorico principio si deve rifare; al teorico principio non analiticamente ma sinteticamente si può umanamente arrivare; non analizzando ma sintetizzando ci si educa al sintetico principale teorico ragionare; l’analisi dalla sintesi deve passare; la razionale sintesi si fa imparare col sintetico principale teorico insegnare; la insegnata sintesi si può imparare per personale risintetizzare; la propria sintesi si può fare nel maieutico soggettivo personale alla luce riportare le evolutive mentali psicogeneticamente costruite umane cognitive formali strutture costitutive della realtà oggettiva del razionale pensare; alla indipendenza razionale a portare il docente ha del discente da valutare non l’adeguazione al principio sintetico analiticamente mutuato ma la disposizione al cognitivo strutturale principale teorico sintetizzare.

La valutazione della disposizione allo aperto indipendente abduttivo ipotetico teorico principale sintetico ragionare passa educativamente per il sintetico quantificare della misura dal pesare: del discente la risposta alla questione proposta è dal docente da valutare nella ricezione della suggestione allo adeguato principiare del razionale pensare; il razionale pensare va valutato nel vero quantificare non analitico elementare ma sintetico globale del considerare gli aspetti del nostro umano simbolico ragionare collegati nella significante funzionale o relazionale formale struttura elaborata nel sintetico teorizzare; dal quantitativo numerico educativo didattico valutare è previsto il misurare dei nodi della rete del teorico strutturare; alla adeguata misura dei nodi del filo della trama sull’ordito si va dal pesare la rete teorica da quantificare; secondo il peso dell’unità di misura dei fili quantificando il reticolato teorizzare il docente può del discente valutare.

Del discente al docente valutativamente dalla rete teorica quantitativamente misurata globalmente pesata nodalmente aperto non rigido giudicare adeguatamente è lo autocosciente sintetico pensare indipendente razionalmente abbacante o calcolante ragionare apertamente dallo educare filosoficamente: al culturale aperto razionale discorsivo dialogico pensiero indipendente l’uomo è educato così suscitato a ragionare sinteticamente da sviluppare la umana sintetica attitudine a pensare metodicamente controllando concretamente la dedotta conseguenza dello ideale astratto abduttivo ipotetico teorizzare razionalmente.

«… all’autentica concezione della cultura corrisponde una scuola di autentica cultura… vi saranno colloqui nei quali gli allievi… esprimeranno i loro personali convincimenti a proposito dei problemi che vi saranno affiorati… non vi sarà altro impegno che quello della personale ricerca del vero e della personale creazione e cioè vi sarà l’unico programma che l’allievo conquisti se stesso realizzandosi in autentica attuazione di sé» (Aldo Testa, La scuola del dialogo, Cappelli 1958, p. 49).

«… le nozioni nude e crude non bastano. Bisogna vedere poi come uno le sa ordinare, collegare, come ci ragiona sopra» (Giuliano Toraldo di Francia, L’amico di Platone: l’uomo nell’era scientifica, Vallecchi 1985, p. 284).

«Aldo Visalberghi… osservava che test centrati prevalentemente sulla informazione… rischiano di diventare “l’obiettivo principale dell’apprendimento… quel genere di conoscenza che dovrebbe considerarsi come un sottoprodotto… di uno studio intelligente diventa invece l’obiettivo principale di uno studio meccanico e superficiale”» (Benedetto Vertecchi, La verifica del prodotto scolastico, in Aldo Visalberghi, Pedagogia e scienze dell’educazione, Mondadori 1978, p. 222).

«Siamo condizionati da una cultura radicata nel subito, nell’immediato, nel presente, nel cosiddetto tempo reale, come se aspettare o pazientare fosse una perdita di tempo o addirittura indice di debolezza» (Vittorino Andreoli, Homo incertus, Rizzoli 2020, p. 186).

«… la scuola secondaria è però frequentata in larga misura da ragazzi intenzionati a proseguire gli studi all’università. A loro, anche in vista dei rapidi mutamenti delle realtà lavorative, non si deve offrire un percorso di studi specialistico ma una formazione generale e polivalente, i cui contenuti vanno decisi in base a scelte culturali e non alle richieste del mercato del lavoro» (Lucio Russo, Perché la cultura classica: la risposta di un non classicista, Mondadori 2018, p. 213).

«La scuola dovrebbe sempre avere come suo fine che i giovani ne escano con personalità armoniose, non ridotti a specialisti… Lo sviluppo dell’attitudine generale a pensare e giudicare indipendentemente dovrebbe sempre essere al primo posto… Se una persona è padrona dei principi fondamentali del proprio settore e ha imparato a pensare e a lavorare indipendentemente troverà sicuramente la propria strada, e inoltre sarà in grado di adattarsi al progresso e ai mutamenti più di una persona la cui istruzione consiste principalmente nell’acquisizione di una conoscenza particolareggiata» (Albert Einstein, Pensieri degli anni difficili, 1950, Boringhieri 1965, pp. 83-84).

«Il maestro sa che la comprensione degli errori dei suoi allievi è la cosa più importante della sua arte didattica… degli errori… il maestro sa valutare il significato educativo: sono esperienze didattiche che egli persegue incoraggiando l’allievo a scoprire da sé la difficoltà che si oppone al retto giudizio e perciò anche ad errare per imparare a correggersi… In breve chi cammina impara che ogni camminare ci espone al cadere, ma perfino la caduta val meglio della sicurezza dello star fermi» (Federigo Enriques, Il significato della storia del pensiero scientifico, 1934, Barbieri 2004, pp. 18-19).

A bambino maturo la nostra umana dimensione di tempo e memoria è aperta dalla storia.

La storia mostra la discontinua o discreta continuità dell’uomo colla natura: l’uomo è animale spirituale soggettivo io autocosciente razionale emergente dalla natura; col linguaggio strumento di comunicazione del pensiero nell’uomo all’evoluzione biologica si affianca l’evoluzione culturale; coll’affiancarsi della scrittura alla oralità nella trasmissione del pensiero inizia per l’uomo la vera e propria storia nella disponibilità della fisica oggettiva memoria.

Biologicamente l’uomo è homo sapiens: sapiens l’uomo produce cultura; cultura è sapere e fare; per sapere e fare l’uomo è sapiens e faber o sapiente e operante; operante o artefice il sapiente uomo è pratica e tecnica; la umana tecnica è propriamente tecnologia alla luce della scientifica teoria.

Nella seconda metà del Novecento in Italia uno scolaro di quarta elementare era dal maestro così valutato: «E’ un bambino maturo, riflessivo, sempre molto impegnato. Presente in ogni iniziativa della classe è disponibile ad offrire il proprio aiuto e le proprie cose. Ben inserito nel gruppo ne rispetta le regole senza cercare come invece potrebbe di affermare il prestigio acquisito per primeggiare sugli altri. Si esprime con proprietà di linguaggio e ricchezza di parole; relaziona con vivacità; è in grado di approfondire i temi proposti in modo superiore alla norma. Corretto sul piano ortografico e grammaticale imposta bene il periodo. Legge con sicurezza. Mostra assoluta padronanza della tecnica delle quattro operazioni e dell’uso del sistema di misurazione; intuisce la soluzione dei problemi. Si appassiona alla storia; mostra interesse per la documentazione geografica e scientifica».

A bambino maturo lo scolaro di quarta elementare era dal maestro a ragione elevato: era riflessivo e sempre impegnato ovvero avviato alla personale critica integrazione del sapere guadagnato; era presente in ogni iniziativa della classe e disponibile ad offrire il proprio aiuto e le proprie cose ovvero partecipe e solidale; era ben inserito nel gruppo e rispettoso delle regole gruppali scolastiche senza ricerca di uso strumentale del prestigio acquisito nella classe per la affermazione personale ovvero paritario e antiautoritario; era capace di esprimersi con proprietà, ricchezza e vivacità e di approfondire i temi; leggeva e scriveva bene; padroneggiava gli strumenti aritmogeometrici e intuiva la soluzione dei problemi matematici; si appassionava alla storia e si interessava a geografia e scienze.

A maturo lo scolaro era dal maestro inquadrato essere assurto per la personalità di bravo bambino: la bravura infantile è l’onestà intellettuale adulta; insicura intellettualmente onesta è l’umanità.

A bambino maturo l’apertura a sapere e cultura è dalla intelligenza della meccanica concreta pura della reale apparente fattura del mondo nella fenomenica misura inteso da astratta struttura: la nostra umana cognizione passa per l’astrazione dalla concreta disposizione portando l’esperienza fattuale nella teorica ragione; la nostra umana teorica empirica ragione è carica di fatti in ogni esperienziale dimensione; conoscitivamente ed eticamente ed esteticamente i fatti sono la pietra di paragone della teorica e pratica nostra umana educazione.

Nel saggio Einaudi Il rifiuto: considerazioni semiserie di un fisico sul mondo di oggi e di domani del 1978 il fisico e filosofo Giuliano Toraldo di Francia sviluppava la pedagogia del rifiuto educazione umana a scelta e complementare rifiuto degli eccessivi beni della civiltà: il titolo Marco Polo, Tartarino e Galois riguarda viaggio e cultura: «Io credo che oggi l’uomo saggio debba soprattutto difendersi dalle troppe immagini, debba rifiutare di sottoporsi a nuovi continui bombardamenti, debba imparare il gusto di stare qualche volta a casa propria, anche in vacanza. Di una cosa sono certo: il difficile compito di recuperare noi stessi non lo possiamo affrontare viaggiando. Il viaggio non fa che rimandare i nostri problemi esistenziali, ci pone forse in ibernazione; ma al ritorno gli interrogativi si riporranno ancora più inquietanti e noi ci troveremo più disarmati, più poveri» (Giuliano Toraldo di Francia, Il rifiuto: considerazioni semiserie di un fisico sul mondo di oggi e di domani, Einaudi 1978, p. 90).

In Marco Polo, Tartarino e Galois del saggio Il rifiuto del 1978 Giuliano Toraldo di Francia muoveva dal non bene del consumismo «sistema di vita antieconomico, perché incita allo spreco, e disumano, perché costringe ciascuno a desiderare di guadagnare sempre di più per poter consumare sempre di più» (G. Toraldo di Francia, Il rifiuto, p. 85): non solo i beni materiali ma anche i beni culturali possono essere eccessivi: «La mente dell’uomo è come un campo fecondo, capace di produrre splendidi frutti quando è ben coltivato. Ma quando è già ben coltivato il tentativo di coltivarlo meglio, se non è fatto con precise e oculate scelte, può risolversi nella perdita dei frutti. Un campo arato è arato; ararlo una seconda, una terza, una quarta volta non serve e può invece portare a distruggere i semi che cominciavano a germinare» (G. Toraldo di Francia, Il rifiuto, p. 86).

In Marco Polo, Tartarino e Galois il dannoso eccesso culturale era da G. Toraldo di Francia ben rilevato nella quantità di informazioni: «… il mondo industrializzato ha inondato la vita umana non solo di cose ma anche di informazioni. Molte delle conoscenze, che una volta era difficilissimo acquisire, oggi sono a portata di mano e in quantità enorme» (G. Toraldo di Francia, Il rifiuto, p. 87).

All’eccesso di informazioni era in Marco Polo, Tartarino e Galois da G. Toraldo di Francia ricondotta la fallacia della affermazione della valenza culturale del viaggio: «Voglio… parlare della fallace affermazione, ancora accettata acriticamente da tutti come scontata, che il viaggiare istruisca e apra la mente… Per i viaggiatori di oggi l’orologio della storia sembra essersi fermato a qualche secolo addietro… Per ragioni inerenti al mio lavoro io ho dovuto viaggiare non poco. Forse proprio questo mi ha aiutato a togliermi certe illusioni. Vi sono ancora alcuni paesi… che non ho mai visto. Credo che morirò senza averli visti. Non farò nulla per aggiungere anche queste valanghe di immagini alle già troppe immagini che rischiano di rendere non vivibile la mia casa interiore» (G. Toraldo di Francia, Il rifiuto, pp. 89-91).

Nella confusione di informazione e vera conoscenza all’idea del viaggio culturale in quanto informativo era in Marco Polo, Tartarino e Galois da G. Toraldo di Francia ben riportata la deformazione del concetto di cultura: «L’estrapolazione lineare, che ha persuaso l’uomo moderno che di informazioni e di beni culturali non se ne ha mai troppi, ha anche provocato un’incredibile deformazione del concetto di cultura. Ha reso la cultura corrente un vero e proprio mostro. Una volta accolta l’idea sbagliata che la cultura debba essere accumulo, anziché digestione di alcune cose ben scelte, era inevitabile che ci si rivolgesse sempre più massicciamente a quei beni culturali che sono di più facile acquisizione, quelli che non richiedono sforzo o che, meglio ancora, procurano svago: romanzi, spettacoli (oltre ai viaggi naturalmente)» (G. Toraldo di Francia, Il rifiuto, p. 92).

Il peso dell’eccesso di informazioni disponibili era in Marco Polo, Tartarino e Galois da G. Toraldo di Francia ben inquadrato nella tradizionale opposizione alla erudizione pedante: «La figura dell’erudito pedante, la cui cultura non regge al confronto con quella di un ignorante di buon senso, è nota nella storia e nella letteratura di tutte le epoche» (G. Toraldo di Francia, Il rifiuto, p. 87).

Nell’eccesso informativo le immagini del viaggio erano in Marco Polo, Tartarino e Galois da G. Toraldo di Francia ben risolte in ulteriori semplici informazioni la cui nozione è resa vera conoscenza, sapere e cultura per trasformazione mentale: se nel viaggio la ricerca informativa eccede l’immagine per l’avventura dal poetico romantico complesso di Marco Polo si passa per l’uomo al complesso di Tartarino.

Nel titolo Marco Polo, Tartarino e Galois del saggio di G. Toraldo di Francia Il rifiuto del 1978 con la ricerca informativa di immagine del complesso di Marco Polo e di avventura del complesso di Tartarino è riferibile al viaggio la ricerca informativa di fretta del complesso di Galois: «E. Galois era uno dei più grandi matematici di tutti i tempi. Morì giovanissimo in un duello. La notte che precedette il duello la passò a scrivere. Presago della morte, volle lasciare ai posteri la sua grande scoperta e la consegnò ad alcuni fogli tracciati affannosamente. Solo molti anni più tardi si capì la portata universale di quelle idee» (G. Toraldo di Francia, Il rifiuto, p. 94).

Rilevando il complesso di Galois in più o meno tutti i ricercatori scientifici G. Toraldo di Francia ben concludeva il titolo Marco Polo, Tartarino e Galois del saggio Il rifiuto del 1978: «Sì alla scienza, ma alla scienza assorbita e digerita come bene culturale, come patrimonio di tutti» (G. Toraldo di Francia, Il rifiuto, p. 97).

Marco Polo, Tartarino e Galois e Il rifiuto del 1978 esprimono il richiamo umanistico scientifico del fisico e filosofo Giuliano Toraldo di Francia alla umana interiorità: il viaggio culturale è interiore e nell’interiorità della mente umana l’informazione diventa nozione conoscitiva e si sviluppa il sapere superando l’immagine nel concetto, l’avventura nella cautela e la fretta nella regolarità; al condizionato informativo immaginoso, avventuroso e frettoloso viaggio esteriore contrasterà la libera concettuale, cauta e regolare mentale cultura.