PROF. MAURO LUCACCINI – FILOSOFIA e Catalogo online della Biblioteca microlatata filosoficamente configurata Filobiblìa oltrarno in Via Duccio Galimberti 19 a San Giovanni Valdarno in provincia di Arezzo: lucaccini.m@liceisgv.eu

Nel terzo capitolo del primo libro del quarto volume della Storia della filosofia moderna 1906-1907-1920-1940 Ernst Cassirer (1874-1945) seguiva il problema filosofico della conoscenza nei sistemi posthegeliani affrontando il concetto di ordine e misura nella geometria: secondo Erodoto nell’antichità la prima geometria greca derivava dall’originaria geometria egizia; lo sviluppo speculativo scientifico greco della geometria pratica egizia era rilevato da Proclo nel commento ad Euclide tramandando il giudizio di Eudemo della matematica pitagorica come prima matematica teorica base dell’educazione liberale; l’idea matematica greca antica della misura come ordine universale si sviluppa nell’idea moderna e contemporanea della matematica come scienza di ordine o relazione.

E. Cassirer rilevava in G. W. Leibniz (1646-1716) nel Seicento la prima idea moderna della matematica come scienza di ordine e relazione: come studio logico delle leggi della forma delle operazioni del pensiero il calcolo combinatorio era per Leibniz la vera scienza matematica fondamentale: «Questo concetto della mathesis universalis andava anche molto più in là di quanto avesse insegnato Cartesio: esso esigeva una trasformazione e un rinnovamento della geometria per una via contraria a quella seguita da Cartesio nella geometria analitica; i nuovi concetti di Leibniz prepararono il terreno alla analysis situs e agli altri sviluppi moderni della geometria» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, p. 84).

Nella logica combinatoria di Leibniz come scienza matematica fondamentale era da Cassirer rilevata la prima moderna determinazione generale di principio del primato dell’ordine sulla misura in geometria: nel pensiero matematico moderno e contemporaneo la geometria sviluppa i teoremi fondamentali muovendo da pure relazioni d’ordine e vi accorda la metrica dello spazio fisico stabilendo la misura secondo i teoremi del movimento: «La forza del nuovo pensiero si fa sentire soprattutto nella sempre maggiore indipendenza con la quale, nello sviluppo della geometria moderna, il pensiero puramente proiettivo si contrappone a quello metrico. Il principio di questo ordine di idee si può far risalire al secolo XVII, con G. Desargues e B. Pascal; esso però raggiunse la sua superiore maturità e la coscienza della sua indipendenza metodologica soltanto con J. V. Poncelet; questi, per primo, realizzò il programma di una geometria basata sul concetto e lo studio di pure relazioni di posizione e non più su idee di forma e misura… Tuttavia il nuovo programma fu messo in esecuzione con tutto rigore soltanto nella Geometria di posizione di C. von Staudt. In J. V. Poncelet e J. Steiner proprio il concetto fondamentale della geometria proiettiva, il concetto di birapporto, era stato definito coll’aiuto di considerazioni metriche… Staudt esige qui una nuova definizione indipendente dalla metrica… risultò la possibilità di costruire con tutto rigore una geometria proiettiva che comprendeva la comune geometria metrica e tutte le geometrie conosciute come casi particolari; inoltre risultava chiaramente la relazione reciproca tra tali geometrie… Sembrava dunque che si fosse raggiunta finalmente la meta alla quale mirava anche N. I. Lobacevskij quando intitolò la sua opera Pangeometria. La geometria proiettiva appare ora come la vera lingua universale, rispetto alla quale la comune geometria metrica si comporta come un singolo idioma… F. Klein stesso nella interpretazione che diede della geometria non euclidea… la volle collocare nel vasto quadro della geometria proiettiva» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, pp. 84-86-87).

Nel pensiero matematico moderno e contemporaneo il carattere puro o a priori della geometria come scienza ipotetico-deduttiva era da Cassirer storicamente rilevato nello stesso sviluppo delle geometrie non euclidee come sistemi geometrici alternativi alla geometria euclidea: è il carattere puro a priori o indipendenza da realtà ed esperienza a conferire rigorosa scientificità alla metrica dei sistemi geometrici subordinando la misura alle relazioni d’ordine secondo i teoremi del movimento come concetto empirico purificato: «Lungi dal mettere in dubbio il carattere aprioristico della geometria le geometrie non euclidee hanno anzi reso più evidente tale carattere… con le premesse incluse nel concetto di movimento si fa entrare nella geometria qualcosa di empirico. Passando alla metrica non possiamo infatti ignorare tali premesse… il carattere rigorosamente scientifico delle diverse geometrie metriche è basato sul fatto che non abbiamo a che fare col reale nello spazio ma con sistemi ipotetico-deduttivi. Gli assiomi, di per se stessi, non dicono nulla sull’esistenza empirica di oggetti o fenomeni: sono unicamente schemi logici vuoti di scienze possibili… Qui ritorniamo dunque all’argomento trattato da H. Poincaré riguardo alla sistematica della geometria: la relazione tra esperienza e pensiero. Nessuna geometria è attinta semplicemente dall’esperienza; però una di esse può essere scelta in modo adatto alla risoluzione di certi problemi posti dall’esperienza» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, pp. 88-89-90).

La subordinazione della misura all’ordine e quindi il primato dell’ordine sulla misura in geometria emergeva infine dalla considerazione filosofico-scientifica del rapporto di sistema fisico-geometrico e realtà secondo la dialettica conoscitiva di teoria ed esperienza: dall’empirismo matematico sofisticato di Hermann von Helmholtz (1821-1894) al convenzionalismo di Henri Poincaré (1854-1912) la comprensione otto-novecentesca della relazione tra momento operativo ed empirico e momento razionale della conoscenza rinnovava per Cassirer il pensiero antico: «Che anche la fisica, nel suo progresso puramente intrinseco, possa condurre a problemi che esigono il passaggio ad una geometria non euclidea è provato dalla teoria della relatività. Con ciò risulta nuovamente, come si poteva vedere da tutto lo sviluppo concettuale della geometria proiettiva, che la metrica contiene in sé un elemento variabile di fronte alle costanti della forma spaziale considerata in generale… Con ciò si è creato un nuovo indirizzo di pensiero… Ma non è intervenuta alcuna frattura logica; anzi, il nuovo ideale della conoscenza è congiunto all’antico, tanto storicamente quanto sistematicamente, per mezzo di organi intermedi ben determinati, in una perfetta continuità» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, pp. 90-91).

Il secondo capitolo del primo libro del quarto volume della Storia della filosofia moderna 1906-1907-1920-1940 del filosofo neokantiano del Novecento Ernst Cassirer (1874-1945) è dedicato a esperienza e pensiero nella costruzione della geometria.

Trattando il problema della conoscenza nei sistemi posthegeliani ed esaminando la scienza esatta logico-matematico-geometrica Cassirer documenta storicamente lo sviluppo filosofico-scientifico del pensiero matematico contemporaneo otto-novecentesco rilevando i limiti gnoseologici ed epistemologici dell’empirismo geometrico: nella conoscenza geometrica all’esperienza si unisce il pensiero: «… si potrebbero ripetere le parole di Immanuel Kant… la conoscenza geometrica ha inizio con l’esperienza, ma non deriva, per questo, dall’esperienza. L’essenziale rimane anche qui l’elaborazione del pensiero» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, traduzione di Angelo Pasquinelli, pp. 72-73).

La questione gnoseologica ed epistemologica del rapporto matematica-esperienza era al pensiero filosofico-scientifico naturalmente posta dallo sviluppo ottocentesco delle geometrie non euclidee: la definizione geometrica euclidea o non euclidea dello spazio fisico reale oggettivo rimanda all’esperienza sensibile, dalle cui suggestioni si sviluppa la geometria: l’opposizione allo a priori aritmetico-analitico della dipendenza della geometria dall’esperienza era da Cassirer rilevata in K. F. Gauss, per il quale la matematica era la regina delle scienze e l’aritmetica la regina della matematica: per Gauss l’aritmetica è a priori perché il numero è prodotto razionale interno dello spirito umano, la geometria dipende al contrario dall’esperienza perché lo spazio ha realtà esterna fuori di noi.

Nell’Ottocento la rottura gaussiana della tradizionale antica pitagorica e moderna cartesiana unità matematica della geometria all’aritmetica e l’equiparazione logica delle geometrie non euclidee alla geometria euclidea portava il pensiero matematico all’empirismo: riducendo la conoscenza matematica ai dati della percezione sensibile il sensismo matematico di John Stuart Mill non poteva soddisfare il pensiero filosofico-scientifico: la risposta gnoseologica ed epistemologica più decisa al sensismo matematico era da Cassirer rilevata nell’empirismo geometrico di Moritz Pasch, per cui la geometria è suscitata dall’esperienza: nell’affermare l’origine empirica della geometria Pasch seguiva il positivismo ma diversamente da Auguste Comte, per il quale la matematica era logicamente solo il sapere dei fatti generali, intendeva documentare la possibilità di costruire la geometria secondo osservazione ed esperienza: «E’ stato Pasch nel 1882 a tentare la prima assiomatizzazione della geometria… l’autore conserva l’atteggiamento dell’empirismo classico» (Robert Blanché, Logica e assiomatica, La Nuova Italia 1968, p. 194).

Nella geometria contemporanea la via della scienza empirico-sperimentale era indicata ma non seguita da Moritz Pasch, dice Ernst Cassirer: «Pasch segue piuttosto il procedimento di David Hilbert, portato fino alle ultime conseguenze nei Fondamenti della geometria, e il metodo della definizione implicita adottato da quest’ultimo… Lo scritto di Pasch… perciò storicamente… preparò la strada non all’empirismo geometrico ma al logicismo e al formalismo» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, pp. 72-73).

Prima di Moritz Pasch le basi filosofico-scientifiche dell’empirismo geometrico erano da Cassirer nell’Ottocento rilevate nell’opera universale di Hermann von Helmholtz: come possibilità di coesistenza secondo la forma pura dell’intuizione sensibile lo spazio era da Helmholtz kantianamente riconosciuto a priori o indipendente dall’esperienza secondo la condizione della umana percezione; come modalità di coesistenza secondo la conformazione fisica delle cose lo spazio era invece da Helmholtz empiristicamente considerato dipendente dall’esperienza secondo la nostra percezione della realtà ma geometricamente definito secondo l’idea matematica astratta di gruppo. Nella definizione dello spazio fisico reale secondo l’idea matematica astratta di gruppo Cassirer indicava l’apertura di Helmholtz al superamento dell’empirismo geometrico: la considerazione di procedimento e operazioni, combinazioni e trasformazioni portava la geometria oltre l’esperienza e la scienza empirica proiettandola sul piano del pensiero e della ragione e sul terreno della matematica pura: «Helmholtz si occupò del problema dello spazio… tale problema rappresenta per così dire il punto focale di tutte le sue ricerche scientifiche… Egli non negò affatto l’apriorità dello spazio nel senso di I. Kant… Lo spazio… non scaturisce dall’esperienza ma anzi le serve di base… Lo spazio è trascendentale, indeducibile e primitivo… Gli assiomi della geometria non sono però proprietà necessarie di una tale forma trascendentale, data a priori; in essi dobbiamo vedere l’espressione di determinate esperienze fondamentali di un tipo tanto generale che di solito dimentichiamo il loro carattere empirico… la premessa che esistano corpi rigidi suscettibili di muoversi liberamente nello spazio senza deformarsi può essere ricavata soltanto dall’esperienza. Le geometrie non euclidee hanno il merito, dal punto di vista epistemologico, di insegnarci che questa premessa non è logicamente necessaria… essa trascende il campo dell’intuizione pura dello spazio e implica un’ammissione particolare sul comportamento fisico dei corpi, dunque una legge empirica… l’esposizione di Helmholtz era fondata sul concetto di gruppo, anche se egli non lo concepisce così nettamente e non lo applica così esplicitamente come fecero più tardi S. Lie e F. Klein… Con ciò si è spostato però, dal punto di vista epistemologico, il centro di gravità del problema… Fin dai suoi primi sviluppi per merito di A.-L. Cauchy, G. L. Lagrange ed E. Galois… la cerchia di queste applicazioni si è continuamente allargata e si è estesa ai campi più diversi della matematica… Col concetto di gruppo ci eleviamo ad una teoria delle operazioni… Qui ci troviamo, per conseguenza, sul terreno della matematica puramente intellettuale» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, pp. 73-76).

Nel passaggio dalla definizione matematica pura dello spazio fisico reale al riconoscimento gnoseologico ed epistemologico della apriorità o indipendenza dalla esperienza sensibile dei presupposti della geometria empirica era da Cassirer rilevata la premessa storica del superamento filosofico-scientifico contemporaneo dell’empirismo geometrico con Henri Poincaré: «Poincaré… fu indotto a respingere decisamente l’empirismo geometrico. Giacché, se è il concetto di gruppo che dobbiamo far entrare nella definizione di geometria e se ogni geometria può essere designata come una teoria degli invarianti rispetto ad un gruppo determinato, allora già nella determinazione del concetto di geometria entra un elemento puramente aprioristico» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, p. 76).

Nel superamento filosofico-scientifico contemporaneo dell’empirismo geometrico la distanza gnoseologica ed epistemologica dell’apriorismo convenzionalistico di Henri Poincaré dal nominalismo o convenzionalismo estremo era da Cassirer sottolineata richiamando il riconoscimento di Poincaré dell’esperienza quale principio di selezione per il riferimento reale della matematica e l’applicazione fisica della geometria: il convenzionalismo moderato di Poincaré salvaguardava il valore oggettivo della scienza riferendo la verità non ai fatti assoluti ma ai fatti scientifici: per il gruppo astratto e i puri assiomi le geometrie non sono tra loro fisicamente più vere ma più comode: «… per Poincaré… non ha senso domandare all’esperienza quale geometria sia la più vera… tutti i sistemi geometrici si dimostrano ugualmente estranei alla verità: essi parlano di configurazioni che sfuggono, come tali, alla possibilità dell’esperienza… Gli assiomi sono… ammissioni libere del pensiero matematico contenenti enunciati che vanno al di là di ogni possibile verifica empirica. Ciò che può essere accertato è la fecondità di tali ammissioni per l’ordine delle verità fisiche; ma anche tale accertamento non può mai aver luogo con la conferma sperimentale di un singolo assioma… Il sistema euclideo conserverà sempre, secondo Poincaré, il vantaggio della semplicità logica… Lo sviluppo successivo della fisica non ha confermato questa previsione; esso ha mostrato che si possono presentare dei casi tali da indurre o costringere il fisico a non esitare davanti all’applicazione di una geometria non euclidea… il concetto moderno di assioma si distingue in modo caratteristico da quello antico. Gli assiomi non sono più asserzioni dal contenuto assolutamente certo… Un sistema di assiomi, secondo le vedute moderne, non è la constatazione di qualche cosa di esistente; è piuttosto da considerarsi unicamente come lo schema logico vuoto di scienze possibili… e lo sviluppo della scienza ha continuato a mostrare che anche le scienze sperimentali progrediscono tanto più e hanno possibilità tanto maggiori quanto meno si vincola la spontaneità del pensiero e quanto più si evita di limitarlo e di restringerlo a priori a ciò che è empiricamente dato e conosciuto» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, pp. 76-80).

Nel 1940 il filosofo neokantiano del Novecento Ernst Cassirer (1874-1945) dedicava il primo libro del quarto volume della Storia della filosofia moderna sul problema della conoscenza nei sistemi posthegeliani al pensiero filosofico-scientifico della scienza esatta logico-matematico-geometrica: il primo capitolo del primo libro era da Cassirer dedicato al problema dello spazio e la scoperta della geometria non euclidea.

Nel capitolo sul problema dello spazio e la scoperta della geometria non euclidea E. Cassirer rilevava la matematica modernamente emergere sempre più  come scienza di pure relazioni tra forme essenzialmente definite proprio dalle loro reciproche relazioni che le ordinano come elementi connettendole sistematicamente: come pura scienza delle relazioni la geometria supera kleinianamente l’intuizione spaziale originaria definendo e ordinando i sistemi assiomatici delle possibili geometrie secondo l’unità dello spazio: secondo l’unità dello spazio la matematica è modernamente precorsa dalla filosofia: «Già nei sistemi filosofici dei secoli XVII e XVIII troviamo una nuova scienza dello spazio… Non solo Immanuel Kant, ma già G. W. Leibniz aveva dichiarato che lo spazio era una pura forma. Esso era secondo lui la forma dell’ordine della coesistenza, mentre il tempo era la forma dell’ordine della successione» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, traduzione di Angelo Pasquinelli, p. 64).

L’interazione filosofia-matematica caratterizza il pensiero dall’antichità greca: verità filosofica e verità logico-matematico-geometrica erano nell’età classica reciprocamente funzionali in Platone, dice Cassirer: «… il concetto platonico della teoria delle idee fu possibile soltanto perché Platone aveva sempre in mente quel complesso di forme immutabili scoperte dai matematici greci. D’altra parte la geometria greca non raggiunse il suo pieno sviluppo quale sistema vero e proprio prima di aver assimilato le idee fondamentali di Platone» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, p. 44).

La dipendenza del discorso scientifico logico-matematico-geometrico greco antico dalla filosofia di Platone era da Cassirer rilevata riferendo la composizione sintetica matematica in età ellenistica degli Elementi di geometria di Euclide al lavoro matematico dell’Accademia platonica e al concetto filosofico platonico di intuizione intellettuale delle evidenze ideali: «I metodi e gli scopi della geometria, come scienza, furono determinati dalle idee fondamentali di Platone e gli Elementi di Euclide sono il coronamento degli sforzi fatti in questo campo. Gli Elementi erano strettamente legati all’attività dell’Accademia di Platone e furono compilati con lo scopo di completare l’opera intrapresa dai grandi matematici che ne fecero parte, specialmente Eudemo e Teeteto. I concetti e le proposizioni a cui Euclide informa il suo sistema rappresentano un prototipo e un modello di ciò che Platone chiamò il processo della visione delle idee. Ciò che si afferra in una tale visione non è qualche cosa di particolare, di contingente, di variabile ma qualche cosa che ha in sé una verità universalmente necessaria ed eterna» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, pp. 44-45).

Nell’età moderna l’evidenza greca antica platonico-euclidea dell’intuizione matematico-geometrica è riaffermata nella filosofia di Cartesio, il quale, se con la geometria analitica pone lo spazio in relazione funzionale col numero, assolutizza lo spazio fisico come estensione matematica sostanziale materiale: se nel Seicento e nel Settecento è soggetto all’affermazione dello spazio assoluto di Isaac Newton, lo spazio relativo di G. W. Leibniz è da Cassirer richiamato l’ordine delle cose coesistenti nel quale risolvere non intuitivamente ma dimostrativamente la geometria.

Se empiristicamente non solo intuitivamente John Locke ma neppure dimostrativamente David Hume negano la certezza del discorso logico-matematico-geometrico, nella filosofia moderna dopo Renato Cartesio e G. W. Leibniz è razionalisticamente con Immanuel Kant nella seconda metà del Settecento che l’evidenza della matematica è secondo l’intuizione sensibile umana riferita alla ragion pura: è lo sviluppo contemporaneo nell’Ottocento nella geometria non euclidea a interrogare sulla verità dei sistemi matematici, dice Cassirer: «… appena si fanno conoscere i primi sistemi di geometria non euclidea… il riconoscimento di una pluralità di geometrie sembrava… includere… la rinuncia all’unità della ragione» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, pp. 47-48).

Nello sviluppo ottocentesco della geometria non euclidea la comprensione del problema della verità matematica è da Cassirer storicamente riferita alla formulazione di Bernhard Riemann nella dissertazione del 1854 Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria: «Già il solo titolo di quest’opera fa pensare ad una rivoluzione nel pensiero matematico: Riemann parla di ipotesi, mentre i suoi predecessori avevano parlato di assiomi. Dove si erano scorte delle asserzioni assolute ed immediatamente evidenti, egli vide delle verità ipotetiche, dipendenti dalla validità di certe premesse; egli non attende più una decisione sulla loro validità dalla logica o dalla matematica, ma dalla fisica. E spiega che il problema del significato intrinseco della metrica spaziale può essere risolto soltanto partendo da un’interpretazione dei fenomeni, verificata finora dall’esperienza, e di cui Newton aveva posto le basi; e che, in seguito, sotto la spinta di fatti che quest’interpretazione non riesce a spiegare, bisognerebbe modificarla progressivamente. Le sue ricerche dovevano avere l’unico scopo di assicurare che tali modificazioni, in avvenire, non fossero ostacolate da ristrettezza di concetti e che i progressi nel trovare nuove relazioni non fossero resi difficili da pregiudizi tradizionali» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, pp. 43-44).

Come ipotesi gli assiomi matematici perdevano il carattere di verità eterne per diventare verità di fatto: così Cassirer riproponeva il senso conoscitivamente e scientificamente rivoluzionario della considerazione filosofica gnoseologica ed epistemologica dello sviluppo storico ottocentesco della geometria non euclidea: «In tutta la storia della matematica pochi avvenimenti contribuirono in modo tanto immediato e radicale a dar forma al problema della conoscenza e a promuoverne l’ulteriore sviluppo quanto la scoperta dei vari tipi di geometria non euclidea. Gauss, il precursore, che ne avrebbe già posseduto tutti i concetti fondamentali al principio del secolo XIX, non osò quasi parlarne. Egli serbò gelosamente il suo segreto, perché non aveva nessuna speranza che il nuovo problema fosse compreso; e poi, come scrisse in una lettera, temeva i clamori dei Beoti. Al principio del periodo che noi consideriamo, cioè della terza decade del secolo XIX, compaiono le opere di Lobacevskij e di Giovanni Bolyai (figlio); questi lavori non mancarono di attirare l’attenzione dei matematici sul problema da essi trattato; però la piena portata di questo problema rispetto alla logica generale fu compresa solo dopo che Riemann lo formulò in modo preciso» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, p. 43).

Il superamento ottocentesco dell’evidenza intuitiva non riguardava il riferimento all’intuizione in matematica: il valore matematico dell’intuizione era da Cassirer rilevato secondo l’idea della precisazione concettuale dell’inesattezza intuitiva: «Secondo Felix Klein gli assiomi geometrici non sono altro che ciò che postuliamo affinché nell’intuizione inesatta siano collocati degli enunciati esatti» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, p. 66).

Il richiamo alla intuitività della geometria euclidea era storicamente superato dalla considerazione matematica ottocentesca dei modelli euclidei e della rappresentabilità euclidea delle geometrie non euclidee: scriveva Cassirer: «Delle diverse geometrie iperbolica, ellittica e parabolica la prima fu rappresentata dal Beltrami ( le cui idee furono sviluppate ulteriormente da Helmholtz) per mezzo di relazioni ottenute sulla cosiddetta superficie pseudosferica, mentre la geometria ellittica era rappresentabile con relazioni che si verificavano sulla superficie della sfera o, più generalmente, sulle superfici a curvatura costante. Felix Klein dimostrò poi, nella sua memoria Sulla cosiddetta geometria non euclidea (1871), che tutti i sistemi di quest’ultima sono suscettibili di una rappresentazione completa nel sistema della geometria euclidea. Questa rappresentazione rende illusoria qualunque preferenza che si volesse dare ad un sistema di fronte ad un altro. Essa dimostra che tali sistemi condividono tutti la stessa sorte rispetto alla loro verità: ogni contraddizione che dovesse verificarsi in uno di quei sistemi ne porterebbe inevitabilmente una uguale nell’altro. David Hilbert completò e precisò questa dimostrazione, mostrando, nei suoi Fondamenti della geometria, che non solo i teoremi delle differenti geometrie sono reciprocamente rappresentabili uno sull’altro ma che essi sono rappresentabili anche su teoremi della analisi pura e della teoria dei numeri reali, di modo che ogni contraddizione in essi si scorgerebbe anche nella suddetta teoria» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, pp. 49-50).

Nelle scienze matematiche dell’Ottocento rappresentabilità e modelli euclidei delle geometrie non euclidee equiparavano geometria iperbolica ed ellittica alla geometria parabolica euclidea secondo la relativa reciproca coerenza logico-intuitiva: le possibilità geometriche si esprimono nelle premesse della costruzione non contraddittoria dei mondi spaziali: scriveva Cassirer: «Se c’erano differenti sistemi di assiomi della geometria, ci dovevano essere spazi differenti, e questi dovevano a loro volta contenere mondi differenti» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, p. 52).

La considerazione matematica generale delle possibilità geometriche era da Cassirer storicamente rilevata nella pubblicazione nel 1872 del Programma di Erlangen di Felix Klein: «Esso… offriva per la prima volta uno sguardo d’insieme sulle differenti geometrie possibili, da un punto di vista rigorosamente coerente e sistematico. Tale pubblicazione rappresentò un avvenimento notevolissimo, non soltanto per la matematica, ma anche per la critica della conoscenza» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, pp. 54-55).

La prospettiva matematica di Klein riconcilia scienza e filosofia nel superamento gnoseologico ed epistemologico dell’idea sostanzialistica dello spazio e della visione assolutistica della verità geometrica: la conoscenza matematica è formale e strutturale, relazionale e funzionale, intuitiva e concettuale, specifica e generale: rilevando la classificazione gerarchica kleiniana delle geometrie secondo gli invarianti dei gruppi di trasformazioni, sullo sfondo della questione filosofica dell’esistenza degli oggetti matematici, Cassirer documenta il passaggio filosofico-scientifico contemporaneo dal problema della realtà a quello dell’origine della geometria.

Nel 1940 il filosofo neokantiano del Novecento Ernst Cassirer (1874-1945) completava la Storia della filosofia moderna dedicata al problema della conoscenza nella filosofia e nella scienza dell’età moderna scrivendo il volume quarto sul problema della conoscenza nei sistemi posthegeliani.

La necessità della sintesi fattuale per la comprensione storica era da E. Cassirer rimarcata a conclusione della introduzione al quarto volume della Storia della filosofia moderna del 1906-1907-1920-1940: la storiografia filosofica deve spiegare lo sviluppo delle idee: la complessità del problema della conoscenza nei sistemi posthegeliani richiede la considerazione delle scienze oltre che della filosofia: «Ormai la filosofia non può e non vuole più arrogarsi gli stessi diritti che aveva preteso di conservare costantemente nelle epoche anteriori. Essa non assume più la parte direttiva… essa si lascia piuttosto guidare dalle scienze particolari… Nel modo più evidente ciò si manifesta nel campo delle scienze esatte» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, traduzione di Angelo Pasquinelli, pp. 36-37).

La necessità di riconsiderare il rapporto filosofia-scienze era nell’introduzione al quarto ed ultimo volume della Storia della filosofia moderna da Cassirer ricondotta all’interazione contemporanea di pensiero filosofico e scientifico: per i sistemi posthegeliani  lo storico del problema della conoscenza non può spiegare lo sviluppo delle idee senza riferire la filosofia alle scienze: «Nella geometria, il sistema di Euclide, che aveva posseduto per secoli un dominio incontrastato, deve abbandonare le sue posizioni… Nelle scienze della natura, la concezione del mondo conforme alla fisica classica comincia a diventare sempre più dubbia… Sembra che la biologia raggiunga appena in quest’epoca lo stadio della sua vera maturità scientifica… Per quanto riguarda la storia, soltanto in quest’epoca essa ha concepito chiaramente quale sia il suo compito» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, pp. 37-38).

Il problema della conoscenza nei sistemi posthegeliani è nel quarto volume della Storia della filosofia moderna da Cassirer affrontato spiegando lo sviluppo delle idee secondo il pensiero filosofico-scientifico contemporaneo della scienza esatta logico-matematico-geometrica, della biologia e del sapere storico: «… la scoperta della geometria non euclidea pone il pensiero matematico di fronte a problemi del tutto nuovi e fa sentire la necessità di una nuova interpretazione della sua vera struttura logica… l’interpretazione meccanica della natura è scossa dalla teoria dei quanti e dalla teoria della relatività speciale e generale… la biologia… sembra aver trovato, nella teoria di Darwin, la prima risposta teoricamente soddisfacente che permetta di risolvere in modo definitivo il problema della vita… solo adesso comincia a costituirsi la vera e propria “visione storico-universale”» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, pp. 37-38).

Nel riferimento alle scienze è nell’introduzione al quarto volume della Storia della filosofia moderna da Cassirer rilevata la distanza gnoseologica ed epistemologica tra il pensiero filosofico-scientifico contemporaneo e la filosofia del passato: «Nell’antichità e nel Medioevo, nei secoli del Rinascimento e in seno ai grandi sistemi filosofici dei secoli XVII e XVIII nessuno ha mai dubitato che la filosofia dovesse dispiegare un’attività propria e indipendente nella costruzione della conoscenza scientifica… E’ innegabile che Platone abbia modellato il suo concetto della conoscenza sul paradigma della matematica; la sua teoria delle idee… però… va ben più lontano di quelli che sono i risultati effettivi della matematica greca… Platone… pone un’idea pura come modello e prototipo di fronte alla matematica e pretende dalla scienza che si conformi a questo modello posto dal pensiero filosofico e gli si avvicini progressivamente… Ciò che aveva fatto Platone nel campo della matematica lo fa Aristotele in quello della biologia. Egli non si limita a concepire la biologia come un insieme chiuso in se stesso ma crea il linguaggio che ne esprime i concetti riguardanti le singole parti… La massima Nisi credideritis, non intelligetis è valida per Tommaso d’Aquino come per tutto il Medioevo. Dunque per lui, come per Bonaventura da Bagnoregio, la reductio artium ad theologiam diventa il principio fondamentale che orienta la ricerca… Il Rinascimento… non solo rinnova le singole teorie filosofiche dell’antichità ma… ricostituisce lo spirito che le aveva create… Però… soltanto Cartesio… incorpora nuovamente in sé la forza creatrice del pensiero filosofico. Con questa forza egli domina la scienza nel suo complesso e con essa ne scopre una nuova forma universale… Tale spirito è lo stesso che domina la filosofia di G. W. Leibniz e ne ispira le teorie particolari… Convinzione e premessa fondamentale di Immanuel Kant consistono nell’ammettere che esista una forma generale e necessaria della conoscenza e che la filosofia abbia la missione e la capacità di scoprire questa forma e di precisarla… Nella seconda metà del secolo XIX tale universalismo del pensiero filosofico viene meno» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, pp. 28-34).

Del legame della filosofia colle scienze nel pensiero filosofico-scientifico gnoseologico ed epistemologico contemporaneo era nell’introduzione al quarto volume della Storia della filosofia moderna da Cassirer richiamata la peculiarità dell’ispirazione scientifica filosofica: «Le scienze particolari non si lasciano più dirigere dalla filosofia ma vogliono vedere e giudicare per conto loro… Ormai le scienze particolari non ricevono più il problema della conoscenza dalle mani della filosofia; anzi ognuna di esse cerca di formularlo per conto proprio e lo foggia in modo da farlo corrispondere ai propri interessi e scopi particolari» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, pp. 27-28).

Alla peculiarità dell’ispirazione scientifica filosofica contemporanea rispondeva la scientifica filosofica moderna teoria generale della conoscenza di Immanuel Kant: nell’esigenza culturale tedesca ottocentesca del ritorno a Kant è nell’introduzione al quarto volume della Storia della filosofia moderna da Cassirer rilevato il riconoscimento dell’irriducibilità della filosofia ai sistemi metafisici: «… i successori immediati di Kant… non seguirono la stessa via… L’idealismo critico di Kant si trasforma in un idealismo assoluto… Hermann von Helmholtz fu uno dei primi ad esigere il ritorno a Kant. La sterilità dei sistemi metafisici e il loro crollo finale non rappresentavano per lui, come per tanti scienziati della seconda metà del secolo XIX, la prova convincente che la filosofia, come tale, si fosse esaurita, dopo aver dato quanto poteva» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, pagine 15 e 17).

Diversamente dalla cultura tedesca nell’Ottocento in Francia e in Inghilterra il pensiero scientifico non aveva risentito del metodo filosofico speculativo metafisico di G. W. F. Hegel: è la via rispettivamente di Cartesio e di Francesco Bacone quella seguita dallo scientifico filosofico antimetafisico positivismo francese di Auguste Comte e positivismo inglese di John Stuart Mill: la distanza del positivismo induttivistico baconiano di Stuart Mill dal positivismo razionalistico cartesiano di Comte è nell’introduzione al quarto volume della Storia della filosofia moderna da Cassirer sottolineata: «Per Mill l’esperienza è e rimane, in fondo, niente di più che un aggregato, una somma di osservazioni particolari, tenute insieme dal tenue legame dell’associazione; tale aggregato acquista un’estensione sempre maggiore grazie al processo dell’induzione… Per Comte, invece, il rapporto tra il generale e il particolare, nella conoscenza scientifica, è determinato in modo del tutto diverso. Il compito di questa conoscenza, secondo lui, non consiste nella determinazione di fatti ma nella formulazione di leggi» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, pp. 21-22).

Il riferimento al positivismo razionalistico cartesiano di Auguste Comte completava la premessa di Ernst Cassirer: la ricostruzione del problema della conoscenza nei sistemi posthegeliani richiede il confronto con la filosofia e la scienza contemporanea e la considerazione del pensiero filosofico-scientifico contemporaneo dall’Ottocento al Novecento tra scienze naturali ed esatte e scienze dello spirito: dall’impulso dello storicismo hegeliano alla logica delle scienze dello spirito come scienze umane e sociali nell’introduzione al quarto volume della Storia della filosofia moderna il neokantiano Cassirer richiamava il particolarismo gnoseologico ed epistemologico dello stesso neokantismo.